I) DERIVATION EN UN POINT
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Vue de la leçon
Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser La dérivation sans perdre le fil.
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I) DERIVATION EN UN POINT
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Définition :
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Exercice :
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1- Montrer que f est dérivable en -2.
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Remarque :
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Application :
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1- Ecrire une expression de f sur R sans valeur absolu.
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2- Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche de −1.
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Théorème :
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II) INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES.
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Définition 1
On dit que f est dérivable en a si la limite lim x→a f(x)−f(a) x−a existe et est finie.
Définition 2
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, a + r[ où r > 0 On dit que f est dérivable à droite de a si la limite lim x→a+ f(x)−f(a) x−a existe et est finie, dans ce cas on appelle cette limite ; le nombre dérivé de la fonction f à droite de a et on le note :
Définition 3
Dans cet exemple, au voisinage de a, on peut pas confondre la courbe avec un segment (f n’est pas dérivable en a) on dit que la courbe représente un point anguleux en A(1, f(1)) Exercices :
Propriété 1
lim x→a f(x) = f(a) donc f est continue en a La réciproque de la propriété précédente n’est pas vraie :
Propriété 2
y = f′(a)(x − a) + f(a) La droite (T) s’appelle la tangente à la courbe Cf en A(a, f(a) Théorème :
Propriété 3
Par la même façon que le paragraphe précédent on peut montrer le théorème suivant :
Propriété 4
(f + g)′ = f′g + g′f 3) Puissance On utilisant la propriété précédente et par récurrence prouver que :
Propriété 5
En remarquant que (f g) = f × (1 g) et en utilisant les propriétés du produit et de l’inverse on peut montrer que :
1- f(x) = 3x2 − x + 2 et a = −2
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2- f(x) = 2x2+1
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x−1 et a = 2
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3- f(x) = sin3x et a = π
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4- f(x) = |2x2 + x − 3| et a = 1.
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Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = { 3x2 + x, x < 0
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−2x2 + 3x, x ≥ 0
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f′(a) = lim
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Contenu à traiter
5 exercice(s) repérés sur 7 page(s), sans correction dans le document.
Vocabulaire du document
fonction · dérivable · droite · tangente · fonctions · nombre · dérivée · déterminer · intervalle · dérivé
Objectif de la leçon
Maîtriser "Cours 1 - La dérivation" dans La dérivation (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.