ExerciceMathématiques · Nombres complexes (Partie 1)

Nombres complexes (Partie 1)

Ressource 3 sur 3

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Lisez, révisez, puis passez à la suite

Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Nombres complexes (Partie 1) sans perdre le fil.

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Chapitre Matière Demander à Ma3lo

Plan du document

I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

Page 1

Définition d’un nombre complexe.

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R ⊂ C

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On définit dans l’ensemble C deux opérations

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L’ensemble C contient un nombre non réel noté i

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Tout nombre complexe z s’écrit et de façon

Page 1

Le réel a s’appelle la partie réel du nombre

Page 1

Le réel a s’appelle la partie imaginaire du nombre

Page 1

L’écriture : z = a + ib s’appelle l’écriture

Page 1

THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy     

Page 1

Remarque :z x iy   et  2

Page 1

L’ensemble R est totalement ordonné, c’est-à-

Page 1

L’ensemble des nombres complexe n’est pas

Page 1

L’ensemble R l’ensemble des nombres réels est

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Définitions relevées

Définition 1

1.1 Définition Définition :Soient z = a + ib et z′= a′ + ib′ deux nombres complexes.

Définition 2

(∀z ∈ C)(0 + z = z + 0 = z) 4) Chaque élément z dans C a un symétrique appelé l’opposé de z noté (−z) ; z + (−z) = (−z) + z = 0 On dit que C muni de l’addition est un groupe commutatif, on le note par :

Définition 3

(1 z ou1 z ) Et on a1 1 z z   On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :

Définition 4

Définition et applications Définition :Soitz x yi   un nombre complexe avecx  ety  le réel positif 2 2 x y  2 s’appelle le module du nombre complexe z et on le note z Exemple :

Définition 5

Définition :Le plan complexe est menu d’un repère  ; ; O u v .Soit z un nombre complexe non nul et M(z) son image.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1

R ⊂ C 2) On définit dans l’ensemble C deux opérations appelées la somme et la multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans , l’ensemble des nombres réels.

Propriété 2

1 i   ; 2 2i  THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy        2 ;x y  et  2 ; x y    deux nombres complexes :

Propriété 3

Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :

Propriété 4

z × z′= (a + ib) × (a′ + ib′)= aa′ + ab′i + iba′ + bb′i22 1 i   z × z′ = (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′= (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés :

Propriété 5

(C∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :

Notations et formules

R ⊂ C

Page 1

dire : (∀(x, y) ∈ R2)(x ≤ y ou y ≤ x )

Page 1

une partie de C ; (∀x ∈ R)(x = x + 0i)

Page 1

z ∈ R ⟺ Im(z) = 0

Page 1

z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0

Page 1

R ∪ iR ⊊ C et R ∩ iR = {0}

Page 1

z + z′= (a + a′) + i(b + b′)

Page 2

On en déduit que : Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et

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Exercices du document

Contenu à traiter

20 exercice(s) repérés sur 19 page(s), avec correction dans le document.

Mots-clés

Vocabulaire du document

complexe · nombre · points · ensemble · nombres · complexes · solution · déterminer · affixe · atmani

Fiche de révision

Objectif de la leçon

Maîtriser "Exercices 1 - Nombres complexes (Partie 1)" dans Nombres complexes (Partie 1) (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.

Méthode rapide

Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.

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Définition d’un nombre complexe.

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R ⊂ C

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On définit dans l’ensemble C deux opérations

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L’ensemble C contient un nombre non réel noté i

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Tout nombre complexe z s’écrit et de façon

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Le réel a s’appelle la partie réel du nombre

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Le réel a s’appelle la partie imaginaire du nombre

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L’écriture : z = a + ib s’appelle l’écriture

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THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy     

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Remarque :z x iy   et  2

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L’ensemble R est totalement ordonné, c’est-à-

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L’ensemble des nombres complexe n’est pas

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L’ensemble R l’ensemble des nombres réels est

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Définitions relevées

Définition 1

1.1 Définition Définition :Soient z = a + ib et z′= a′ + ib′ deux nombres complexes.

Définition 2

Définition 3

(1 z ou1 z ) Et on a1 1 z z   On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :

Définition 4

Définition et applications Définition :Soitz x yi   un nombre complexe avecx  ety  le réel positif 2 2 x y  2 s’appelle le module du nombre complexe z et on le note z Exemple :

Définition 5

Définition :Le plan complexe est menu d’un repère  ; ; O u v .Soit z un nombre complexe non nul et M(z) son image.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1

R ⊂ C 2) On définit dans l’ensemble C deux opérations appelées la somme et la multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans , l’ensemble des nombres réels.

Propriété 2

1 i   ; 2 2i  THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy        2 ;x y  et  2 ; x y    deux nombres complexes :

Propriété 3

Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :

Propriété 4

z × z′= (a + ib) × (a′ + ib′)= aa′ + ab′i + iba′ + bb′i22 1 i   z × z′ = (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′= (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés :

Propriété 5

(C∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :

Notations et formules

R ⊂ C

Page 1

dire : (∀(x, y) ∈ R2)(x ≤ y ou y ≤ x )

Page 1

une partie de C ; (∀x ∈ R)(x = x + 0i)

Page 1

z ∈ R ⟺ Im(z) = 0

Page 1

z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0

Page 1

R ∪ iR ⊊ C et R ∩ iR = {0}

Page 1

z + z′= (a + a′) + i(b + b′)

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On en déduit que : Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et

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Méthode rapide

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