CoursMathématiques · Arithmétique dans IN

Arithmétique dans IN

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Divise

a divise b (a|b) s'il existe k ∈ $\mathbb{Z}$ tel que b = k·a.

a | b \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : b = k \cdot a

Division euclidienne

Pour a ∈ $\mathbb{N},$ b ∈ $\mathbb{N}* :$ a = b·q + r avec 0 ≤ r < b. q = quotient, r = reste.

a = bq + r, 0 \le r < b

PGCD(a, b)

Le plus grand entier qui divise à la fois a et b. Calculé par l'algorithme d'Euclide.

Algorithme d'Euclide

PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où r est le reste de a÷b. On répète jusqu'à r = 0.

PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b)

PPCM(a, b)

Le plus petit entier positif multiple de a et de b.

PPCM(a,b) = (a \times b) / PGCD(a,b)

Nombres premiers entre eux

a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.

Définition

p est premier si p ≥ 2 et ses seuls diviseurs sont 1 et p.

Décomposition en facteurs premiers

Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique comme produit de nombres premiers.

n = p1^a1 \times p2^a2 \times \ldots \times pk^ak

Théorème de Bézout

a et b premiers entre eux ⟺ il existe u, v ∈ $\mathbb{Z}$ tels que au + bv = 1.

PGCD(a,b)=1 \Longleftrightarrow \exists u,v \in \mathbb{Z}: au+bv=1

Théorème 1 - Arithmétique

Application du théorème 1.

Théorème 2 - Arithmétique

Application du théorème 2.

Théorème 3 - Arithmétique

Application du théorème 3.

Théorème 4 - Arithmétique

Application du théorème 4.

Théorème 5 - Arithmétique

Application du théorème 5.

Méthode de résolution

Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).

Erreurs fréquentes

Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.