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Divise
a divise b (a|b) s'il existe k ∈ ℤ tel que b = k·a.
a | b ⟺ ∃k ∈ ℤ : b = k·a
CoursMathématiques · Arithmétique dans IN
Arithmétique dans IN
Divisibilité dans ℕ
Division euclidienne
Pour a ∈ ℕ, b ∈ ℕ* : a = b·q + r avec 0 ≤ r < b. q = quotient, r = reste.
a = bq + r, 0 ≤ r < b
PGCD et PPCM
PGCD(a, b)
Le plus grand entier qui divise à la fois a et b. Calculé par l'algorithme d'Euclide.
Algorithme d'Euclide
PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où r est le reste de a÷b. On répète jusqu'à r = 0.
PGCD(a,b) = PGCD(b, a mod b)
PPCM(a, b)
Le plus petit entier positif multiple de a et de b.
PPCM(a,b) = (a × b) / PGCD(a,b)
Nombres premiers entre eux
a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.
Nombres premiers
Définition
p est premier si p ≥ 2 et ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique comme produit de nombres premiers.
n = p1^a1 × p2^a2 × ... × pk^ak
Théorème de Bézout
a et b premiers entre eux ⟺ il existe u, v ∈ ℤ tels que au + bv = 1.
PGCD(a,b)=1 ⟺ ∃u,v∈ℤ: au+bv=1
Théorèmes - Arithmétique
Théorème 1 - Arithmétique
Application du théorème 1.
Théorème 2 - Arithmétique
Application du théorème 2.
Théorème 3 - Arithmétique
Application du théorème 3.
Théorème 4 - Arithmétique
Application du théorème 4.
Théorème 5 - Arithmétique
Application du théorème 5.
Repères essentiels (TC Sciences Maroc)
Méthode de résolution
Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).
Erreurs fréquentes
Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.