CoursMathématiques · Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

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Chapitre Matière Ma3lo Bot

Les ensembles de nombres

$\mathbb{N}$ – Entiers naturels

$\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3,$ …} — les entiers à partir de 0.

$\mathbb{Z}$ – Entiers relatifs

$\mathbb{Z} = {$ …, −2, −1, 0, 1, 2, …} — tous les entiers positifs et négatifs.

$\mathbb{Q}$ – Nombres rationnels

$\mathbb{Q} = {$ p/q | p ∈ $\mathbb{Z},$ q ∈ $\mathbb{Z}*}$ — tout nombre exprimable comme fraction.

$\mathbb{R}$ – Nombres réels

$\mathbb{R}$ contient tous les rationnels et irrationnels. Représentés sur la droite réelle.

Inclusion : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ⊂ $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Chaque ensemble est contenu dans le suivant.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Nombres irrationnels

Définition

Un irrationnel est un réel qui ne peut pas s'écrire sous forme p/q avec p,q ∈ $\mathbb{Z}$ et q ≠ 0.

Exemples classiques

√2, √3, π, e sont irrationnels.

√2 ≈ 1.41421\ldots π ≈ 3.14159\ldots

$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

L'ensemble des irrationnels est noté $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (réels privés des rationnels).

Intervalles de ℝ

Intervalle fermé [a, b]

{x ∈ $\mathbb{R} |$ a ≤ x ≤ b} — les bornes sont incluses.

[a, b] = {x \in \mathbb{R} | a \le x \le b}

Intervalle ouvert (a, b)

{x ∈ $\mathbb{R} |$ a < x < b} — les bornes sont exclues.

]a, b[ = {x \in \mathbb{R} | a < x < b}

Demi-intervalles

[a, b[ ou ]a, b] — une borne incluse, l'autre exclue.

Intervalles infinis

[a, +∞[ = {x ∈ $\mathbb{R} |$ x ≥ a}. On n'inclut jamais ±∞.

Valeur absolue

Définition

|x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0.

|x| = x (x \ge 0) ou |x| = -x (x<0)

Propriétés

|x·y| = |x|·|y| |x/y| = |x|/|y| |x+y| ≤ |x|+|y| (inégalité triangulaire)

|x+y| \le |x| + |y|

|x| < r ⟺ −r < x < r

Résoudre |x − a| < r revient à a − r < x < a + r.

|x - a| < r \Longleftrightarrow a-r < x < a+r

Opérations sur les ensembles

Union A ∪ B

A ∪ B contient les éléments de A ou de B.

A \cup B = {x | x \in A ou x \in B}

Intersection A ∩ B

A ∩ B contient les éléments communs à A et B.

A \cap B = {x | x \in A et x \in B}

Complémentaire Ā

Ā = E \ A.

Ā = E \ A

Différence A \ B

A \ B = A ∩ B̄.

A \ B = {x | x \in A et x \notin B}

Différence symétrique A Δ B

Éléments dans l'un mais pas les deux.

A Δ B = (A \cup B) \ (A \cap B)

Lois de De Morgan

(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄ et (A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄.

(A \cup B)̄ = Ā \cap B̄

Produit cartésien A × B

Ensemble des couples (a,b).

Card(A \times B) = Card(A) \times Card(B)

Intervalles et notation avancée

Intervalle fermé [a,b]

Contient ses bornes.

[a,b] = {x \in \mathbb{R} | a \le x \le b}

Intervalle ouvert ]a,b[

Ne contient pas ses bornes.

]a,b[ = {x \in \mathbb{R} | a < x < b}

Voisinage d'un point

|x − a| < ε.

|x − a| < ε \Longleftrightarrow x \in ]a−ε, a+ε[

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$

Tout intervalle ouvert contient un rationnel.

\forall a < b, \exists q \in \mathbb{Q}: a < q < b

Récapitulatif – Ensembles de nombres

Hiérarchie $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ⊂ $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Les irrationnels = $\mathbb{R}\\mathbb{Q}$ .

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Valeur absolue |x|

|x| est la distance à zéro.

|x−a| < r \Longleftrightarrow x \in ]a−r, a+r[

Intervalles

Types: [a;b], ]a;b[, [a;b[.

[a,b], ]a,b[, [a,+\infty[

Partie entière E(x)

Entier n tel que n ≤ x < n+1.

E(x) = ⌊x⌋

Distance d(a,b) = |a−b|

Propriétés métriques dans $\mathbb{R}$ .

d(a,b) = |a − b|

Opérations sur les intervalles

Intesection, Union, Complémentaire.

A \cap B, A \cup B, Ā

√2 ∉ $\mathbb{Q}$

Preuve classique par l'absurde.

√2 \notin \mathbb{Q}

Fiche de révision 2 – Les ensembles

Rappel opérations

Union (OU), Intersection (ET), Complémentaire (NON).

Intervalles types

Bornés : [a,b]. Non bornés : [a,+∞[. Voisinage : |x-a|<r.

Valeur absolue

|x| représente la distance à l'origine. |a-b| est la distance entre a et b.

Majoration/Minoration

M majorant de A : ∀x∈A, x≤M. m minorant de A : ∀x∈A, x≥m.

Fiche de révision 3 – Approfondissement

Densité de Q

Tout intervalle ouvert non vide de R contient une infinité de rationnels et d'irrationnels.

Propriété d'Archimède

Pour tout x>0, y>0, il existe n entier tel que nx > y.

Partie entière E(x)

x-1 < E(x) <= x. Utile pour les encadrements.

Repères essentiels (TC Sciences Maroc)

Méthode de résolution

Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).

Erreurs fréquentes

Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.