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ℕ – Entiers naturels
ℕ = {0, 1, 2, 3, …} — les entiers à partir de 0.
CoursMathématiques · Ensembles de nombres
Ensembles de nombres
Les ensembles de nombres
ℤ – Entiers relatifs
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} — tous les entiers positifs et négatifs.
ℚ – Nombres rationnels
ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℤ*} — tout nombre exprimable comme fraction.
ℝ – Nombres réels
ℝ contient tous les rationnels et irrationnels. Représentés sur la droite réelle.
Inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Chaque ensemble est contenu dans le suivant.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Nombres irrationnels
Définition
Un irrationnel est un réel qui ne peut pas s'écrire sous forme p/q avec p,q ∈ ℤ et q ≠ 0.
Exemples classiques
√2, √3, π, e sont irrationnels.
√2 ≈ 1.41421… π ≈ 3.14159…
ℝ∖ℚ
L'ensemble des irrationnels est noté ℝ∖ℚ (réels privés des rationnels).
Intervalles de ℝ
Intervalle fermé [a, b]
{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} — les bornes sont incluses.
[a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Intervalle ouvert (a, b)
{x ∈ ℝ | a < x < b} — les bornes sont exclues.
]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}
Demi-intervalles
[a, b[ ou ]a, b] — une borne incluse, l'autre exclue.
Intervalles infinis
[a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ a}. On n'inclut jamais ±∞.
Valeur absolue
Définition
|x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0.
|x| = x (x≥0) ou |x| = -x (x<0)
Propriétés
|x·y| = |x|·|y| |x/y| = |x|/|y| |x+y| ≤ |x|+|y| (inégalité triangulaire)
|x+y| ≤ |x| + |y|
|x| < r ⟺ −r < x < r
Résoudre |x − a| < r revient à a − r < x < a + r.
|x - a| < r ⟺ a-r < x < a+r
Opérations sur les ensembles
Union A ∪ B
A ∪ B contient les éléments de A ou de B.
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Intersection A ∩ B
A ∩ B contient les éléments communs à A et B.
A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}
Complémentaire Ā
Ā = E \ A.
Ā = E \ A
Différence A \ B
A \ B = A ∩ B̄.
A \ B = {x | x ∈ A et x ∉ B}
Différence symétrique A Δ B
Éléments dans l'un mais pas les deux.
A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Lois de De Morgan
(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄ et (A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄.
(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄
Produit cartésien A × B
Ensemble des couples (a,b).
Card(A×B) = Card(A) × Card(B)
Intervalles et notation avancée
Intervalle fermé [a,b]
Contient ses bornes.
[a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Intervalle ouvert ]a,b[
Ne contient pas ses bornes.
]a,b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}
Voisinage d'un point
|x − a| < ε.
|x − a| < ε ⟺ x ∈ ]a−ε, a+ε[
Densité de ℚ dans ℝ
Tout intervalle ouvert contient un rationnel.
∀a < b, ∃q ∈ ℚ: a < q < b
Récapitulatif – Ensembles de nombres
Hiérarchie ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Les irrationnels = ℝ\ℚ.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Valeur absolue |x|
|x| est la distance à zéro.
|x−a| < r ⟺ x ∈ ]a−r, a+r[
Intervalles
Types: [a;b], ]a;b[, [a;b[.
[a,b], ]a,b[, [a,+∞[
Partie entière E(x)
Entier n tel que n ≤ x < n+1.
E(x) = ⌊x⌋
Distance d(a,b) = |a−b|
Propriétés métriques dans ℝ.
d(a,b) = |a − b|
Opérations sur les intervalles
Intesection, Union, Complémentaire.
A ∩ B, A ∪ B, Ā
√2 ∉ ℚ
Preuve classique par l'absurde.
√2 ∉ ℚ
Fiche de révision 2 – Les ensembles
Rappel opérations
Union (OU), Intersection (ET), Complémentaire (NON).
Intervalles types
Bornés : [a,b]. Non bornés : [a,+∞[. Voisinage : |x-a|<r.
Valeur absolue
|x| représente la distance à l'origine. |a-b| est la distance entre a et b.
Majoration/Minoration
M majorant de A : ∀x∈A, x≤M. m minorant de A : ∀x∈A, x≥m.
Fiche de révision 3 – Approfondissement
Densité de Q
Tout intervalle ouvert non vide de R contient une infinité de rationnels et d'irrationnels.
Propriété d'Archimède
Pour tout x>0, y>0, il existe n entier tel que nx > y.
Partie entière E(x)
x-1 < E(x) <= x. Utile pour les encadrements.
Repères essentiels (TC Sciences Maroc)
Méthode de résolution
Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).
Erreurs fréquentes
Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.