CoursMathématiques · Les polynômes

Les polynômes

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Polynôme

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ avec aₙ ≠ 0. Le degré est n.

P(x) = anx^n + \ldots + a1x + a0

Addition et soustraction

On additionne les coefficients de même degré.

Multiplication

deg(P·Q) = deg(P) + deg(Q). On développe terme à terme.

Division euclidienne des polynômes

P = Q·D + R avec deg(R) < deg(D). Q est le quotient, R le reste.

P = Q \cdot D + R, deg(R) < deg(D)

Théorème du reste

Le reste de la division de P par (x − a) est P(a).

P(x) ÷ (x-a) \Longrightarrow reste = P(a)

Théorème du facteur

a est racine de P ⟺ (x − a) divise P(x), i.e. P(a) = 0.

P(a) = 0 \Longleftrightarrow P(x) = (x-a) \cdot Q(x)

(a+b)²

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a−b)²

(a−b)² = a² − 2ab + b²

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

a²−b² (différence de carrés)

a² − b² = (a−b)(a+b)

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

(a+b)³

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Méthode de résolution

Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).

Erreurs fréquentes

Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.