CoursMathématiques · Le produit scalaire

Le produit scalaire

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Définition géométrique

u·v = ‖u‖·‖v‖·cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs.

u \cdot v = ||u|| \cdot ||v|| \cdot cos(θ)

Formule analytique

Si u = (x, y) et v = (x', y') alors u·v = xx' + yy'

u \cdot v = x \cdot x' + y \cdot y'

Vecteurs perpendiculaires

u ⊥ v ⟺ u·v = 0.

u ⊥ v \Longleftrightarrow u \cdot v = 0

Bilinéarité et symétrie

u·v = v·u (k·u)·v = k(u·v) (u+v)·w = u·w + v·w

u \cdot v = v \cdot u, (u+v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w

Norme au carré

‖u‖² = u·u = x² + y²

||u||^2 = u \cdot u

Théorème de Pythagore

ABC rectangle en A ⟺ AB·AC = 0 ⟺ BC² = AB² + AC²

BC^2 = AB^2 + AC^2 (angle droit en A)

Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)

Méthode de résolution

Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).

Erreurs fréquentes

Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.