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CoursMathématiques · Calcul trigonométrique

Calcul trigonométrique

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ChapitreMatièreMa3lo Bot

Cercle trigonométrique

Définition

Cercle de centre O et de rayon 1. Tout angle x correspond à un point M(cos x, sin x).

Relation fondamentale

cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout x ∈ R\mathbb{R}.

cos2(x)+sin2(x)=1cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Périodicité

cos et sin ont pour période 2π : cos(x + 2π) = cos(x), sin(x + 2π) = sin(x).

cos(x+2π)=cos(x)sin(x+2π)=sin(x)cos(x+2π) = cos(x) sin(x+2π) = sin(x)

Valeurs remarquables

0, π/6, π/4, π/3, π/2

cos(0)=1 sin(0)=0 | cos(π/6)=√3/2 sin(π/6)=1/2 | cos(π/4)=√2/2 sin(π/4)=√2/2 | cos(π/3)=1/2 sin(π/3)=√3/2 | cos(π/2)=0 sin(π/2)=1

tan(x) = sin(x)/cos(x)

Défini pour cos(x) ≠ 0, donc x ≠ π/2 + kπ.

tan(x)=sin(x)/cos(x),1+tan2(x)=1/cos2(x)tan(x) = sin(x) / cos(x), 1 + tan^2(x) = 1/cos^2(x)

Formules de transformation

Formules d'addition

cos(a+b) = cos a·cos b − sin a·sin b sin(a+b) = sin a·cos b + cos a·sin b

cos(a+b)=cosA⋅cosB−sinA⋅sinBsin(a+b)=sinA⋅cosB+cosA⋅sinBcos(a+b) = cosA \cdot cosB - sinA \cdot sinB sin(a+b) = sinA \cdot cosB + cosA \cdot sinB

Formules de duplication

cos(2x) = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x sin(2x) = 2·sin x·cos x

sin(2x)=2sinx⋅cosxcos(2x)=cos2x−sin2xsin(2x) = 2sinx \cdot cosx cos(2x) = cos^2x - sin^2x

Formules de linéarisation

cos²x = (1 + cos 2x)/2 sin²x = (1 − cos 2x)/2

cos2x=(1+cos2x)/2sin2x=(1−cos2x)/2cos^2x = (1+cos2x)/2 sin^2x = (1-cos2x)/2

Parité et symétrie

cos est paire

cos(−x) = cos(x) pour tout x.

cos(−x)=cos(x)cos(-x) = cos(x)

sin est impaire

sin(−x) = −sin(x) pour tout x.

sin(−x)=−sin(x)sin(-x) = -sin(x)

Complémentaires

cos(π/2 − x) = sin(x) et sin(π/2 − x) = cos(x).

cos(π/2−x)=sin(x)sin(π/2−x)=cos(x)cos(π/2-x) = sin(x) sin(π/2-x) = cos(x)

Théorèmes - Trigonométrie 1

Théorème 1 - Trigonométrie 1

Application du théorème 1.

Théorème 2 - Trigonométrie 1

Application du théorème 2.

Théorème 3 - Trigonométrie 1

Application du théorème 3.

Théorème 4 - Trigonométrie 1

Application du théorème 4.

Théorème 5 - Trigonométrie 1

Application du théorème 5.

Repères essentiels (TC Sciences Maroc)

Méthode de résolution

Identifier les données, poser les relations/formules, résoudre pas à pas puis vérifier le résultat (signe, unité, cohérence).

Erreurs fréquentes

Oubli des conditions de définition, confusion entre égalité et équivalence, et perte de solutions lors des transformations.