تمرينالرياضيات · الأعداد العقدية (الجزء الأول)

الأعداد العقدية (الجزء الأول)

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خطة الوثيقة

I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

الصفحة 1

Définition d’un nombre complexe.

الصفحة 1

R ⊂ C

الصفحة 1

On définit dans l’ensemble C deux opérations

الصفحة 1

L’ensemble C contient un nombre non réel noté i

الصفحة 1

Tout nombre complexe z s’écrit et de façon

الصفحة 1

Le réel a s’appelle la partie réel du nombre

الصفحة 1

Le réel a s’appelle la partie imaginaire du nombre

الصفحة 1

L’écriture : z = a + ib s’appelle l’écriture

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THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy     

الصفحة 1

Remarque :z x iy   et 

الصفحة 1

L’ensemble R est totalement ordonné, c’est-à-

الصفحة 1

L’ensemble des nombres complexe n’est pas

الصفحة 1

L’ensemble R l’ensemble des nombres réels est

الصفحة 1

تعاريف من الوثيقة

تعريف 1

1.1 Définition Définition :Soient z = a + ib et z′= a′ + ib′ deux nombres complexes.

تعريف 2

(∀z ∈ C)(0 + z = z + 0 = z) 4) Chaque élément z dans C a un symétrique appelé l’opposé de z noté (−z) ; z + (−z) = (−z) + z = 0 On dit que C muni de l’addition est un groupe commutatif, on le note par :

تعريف 3

(1 z ou1 z ) Et on a1 1 z z   On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :

تعريف 4

(∀( 1z , 2z , 3z ) ∈ C3) (1z × (2z + 3z ) = 1z ×2z + 1z × 3z ) Définition :Puisque (C, +) est un groupe commutatif et (C∗,×) est un groupe commutatif et la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C; on dit que (C, +,×) est un corps commutatif.

تعريف 5

Définition et applications Définition :Soitz x yi   un nombre complexe avecx  ety  le réel positif 2 2 x y  2 s’appelle le module du nombre complexe z et on le note z Exemple :

مبرهنات وخاصيات

خاصية 1

R ⊂ C 2) On définit dans l’ensemble C deux opérations appelées la somme et la multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans , l’ensemble des nombres réels.

خاصية 2

1 i   ; 2 2i  THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy        2 ;x y  et  2 ; x y    deux nombres complexes :

خاصية 3

Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et NOMBRES COMPLEXES Prof/ATMANI NAJIB 2 Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :

خاصية 4

z × z′= (a + ib) × (a′ + ib′)= aa′ + ab′i + iba′ + bb′i22 1 i   z × z′ = (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′= (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés :

خاصية 5

(C∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :

رموز وصيغ

R ⊂ C

الصفحة 1

dire : (∀(x, y) ∈ R2)(x ≤ y ou y ≤ x )

الصفحة 1

une partie de C ; (∀x ∈ R)(x = x + 0i)

الصفحة 1

z ∈ R ⟺ Im(z) = 0

الصفحة 1

z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0

الصفحة 1

R ∪ iR ⊊ C et R ∩ iR = {0}

الصفحة 1

z + z′= (a + a′) + i(b + b′)

الصفحة 1

On en déduit que : Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et

الصفحة 1

تمارين الوثيقة

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21 تمرين (تمارين) في 20 صفحة، مع التصحيح في الوثيقة.

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complexe · nombre · points · ensemble · complexes · nombres · solution · déterminer · forme · affixe

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R ⊂ C

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On définit dans l’ensemble C deux opérations

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Le réel a s’appelle la partie imaginaire du nombre

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L’écriture : z = a + ib s’appelle l’écriture

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L’ensemble des nombres complexe n’est pas

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L’ensemble R l’ensemble des nombres réels est

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تعريف 1

1.1 Définition Définition :Soient z = a + ib et z′= a′ + ib′ deux nombres complexes.

تعريف 2

تعريف 3

(1 z ou1 z ) Et on a1 1 z z   On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :

تعريف 4

تعريف 5

Définition et applications Définition :Soitz x yi   un nombre complexe avecx  ety  le réel positif 2 2 x y  2 s’appelle le module du nombre complexe z et on le note z Exemple :

مبرهنات وخاصيات

خاصية 1

R ⊂ C 2) On définit dans l’ensemble C deux opérations appelées la somme et la multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans , l’ensemble des nombres réels.

خاصية 2

1 i   ; 2 2i  THÉORÈME :Soientz x iy   etz x iy        2 ;x y  et  2 ; x y    deux nombres complexes :

خاصية 3

Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et NOMBRES COMPLEXES Prof/ATMANI NAJIB 2 Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :

خاصية 4

z × z′= (a + ib) × (a′ + ib′)= aa′ + ab′i + iba′ + bb′i22 1 i   z × z′ = (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′= (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés :

خاصية 5

(C∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :

رموز وصيغ

R ⊂ C

الصفحة 1

dire : (∀(x, y) ∈ R2)(x ≤ y ou y ≤ x )

الصفحة 1

une partie de C ; (∀x ∈ R)(x = x + 0i)

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z ∈ R ⟺ Im(z) = 0

الصفحة 1

z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0

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R ∪ iR ⊊ C et R ∩ iR = {0}

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z + z′= (a + a′) + i(b + b′)

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On en déduit que : Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et

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