I) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT
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Lesson overview
This lesson brings together the PDF, study notes and chapter flow so you can revise Limites et continuité without losing the thread.
I) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT
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1- Déterminer Df
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2- Déterminer : lim
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Définition :
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3- Interprétations graphiques
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1- Déterminer f(1) et étudier la continuité de la fonction f en x0 = 1
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2- Représenter graphiquement la fonction f.
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2- Représenter graphiquement la fonction h.
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Exercice :
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1- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h.
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2- Déterminer la limite lim
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3- Soit la fonction h̅ définie par : {h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1
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Definition 1
b) Comparer lim x→1 f(x) et f(1) On dit que f est continue en x0 = 1 Activité 3 :
Definition 2
On dit que la fonction f tend vers le réel l quand x tend vers a si :
Definition 3
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 < |x − a| < α ⇒ |f(x) − l| < ε 2 Définition et exemples Définition :
Definition 4
On dit que la fonction f est continue en a si :
Definition 5
{h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1 h̅ (−1) = 3 a) Déterminer Dh̅ b) Etudier la continuité de la fonction h̅ en x0=-1 La fonction h̅ s’appelle un prolongement par continuité de la fonction h en -1 4- Peut-on prolonger h par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Property 1
{h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1 h̅ (−1) = 3 a) Déterminer Dh̅ b) Etudier la continuité de la fonction h̅ en x0=-1 La fonction h̅ s’appelle un prolongement par continuité de la fonction h en -1 4- Peut-on prolonger h par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Property 2
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 ≤ a − x < α ⇒ |f(x) − f(a)| < ε Théorème Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a Preuve :
Property 3
f peut-être continue sur [a, b[ et sur [b, c] sans qu’elle soit continue sur [a, c] Dans le graphique ci-dessous f estcontinue sur [−3,0[ et continue sur [0,2] mais pas continue sur [−3,0] car elle n’est pas continue en 0 {f(x) = 1 x si x < 0 f(x) = x2 si x ≥ 0 2) Opérations sur les fontions…
Property 4
lim x→a(f + g)(x) = l + l′ lim x→a(f × g)(x) = l × l′ lim x→a(|f|)(x) = |l| lim x→a (1 g) (x) = 1 l′ l′ ≠ 0 lim x→a (f g) (x) = l l′ l′ ≠ 0 lim x→a(√f)(x) = √l l > 0 Ces propriétés sont vraies à droite et à gauche d’un réel a.
Property 5
2.2 Opérations sur les fonctions continues Grace à la propriété précédente et à la définition de la continuité on peut en déduire :
2x3+2x−4 lim
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√4x+1−3
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x2−3x+2 lim
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{f(x) = 3x2 + x − 4
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√x2 + 3 − 2 ; si x ≠ 1
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f(1) = 14
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{g(x) = xE (1
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x) ; si x ≠ 0
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What to work through
5 exercise(s) found across 17 page(s), with solutions included.
Document vocabulary
fonction · continue · continuité · définie · intervalle · limite · déterminer · strictement · définition · admet
Lesson objective
Master "Course 1 - Limites et continuité" in Limites et continuité (Mathematics) and use it in exercises.
Quick method
Start with definitions, learn formulas/processes, redo one example, then solve one exercise without the correction.