ExerciceMathématiques · Étude des fonctions

Étude des fonctions

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Vue de la leçon

Lisez, révisez, puis passez à la suite

Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Étude des fonctions sans perdre le fil.

Accès rapide

Chapitre Matière Demander à Ma3lo

Plan du document

I) CONCAVITE ; CONVEXITE ; POINTS

Page 1

Activité :Soit la fonction g définie sur R par :

Page 1

Déterminer les dérivées première et seconde

Page 1

Dresser le tableau de signe de g′′(x).

Page 1

La courbe représentative de g est représentée

Page 1

Que peut-on conclure ?

Page 1

Définition et propriétés.

Page 1

Définition : Soit f une fonction dont la courbe

Page 1

On dit que la courbe est convexe si elle se

Page 1

On dit que la courbe est concave si elle se

Page 1

Un point d'inflexion est un point où s'opère un

Page 1

Remarque :Si f est dérivable en a et Cf traverse

Page 1

Théorème : Soit f une fonction deux fois

Page 1

Si f′′ est positive sur I alors Cf est convexe

Page 1

Définitions relevées

Définition 1

On dit que la courbe est convexe si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes 2) On dit que la courbe est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes.

Définition 2

Déterminer   lim (2 1) x g x x    On dit que la droite (Δ):

Théorèmes et propriétés

Propriété 1

Si f′′ s’annule en a en changeant de signe alors Cf admet un point d’inflexion en A(a, f(a)) Remarque :Les conditions du théorème précèdent sont suffisantes ; on peut avoir une courbe convexe, concave ou un point D’inflexion sans l’existence même de la dérivée seconde.

Propriété 2

Propriété :Soit f une fonction définie au voisinage de +∞.

Propriété 3

y = ax + b (a ≠ 0 ) est une asymptote oblique au voisinage de +∞ si et seulement si :

Propriété 4

 lim x f x a x   (a ≠ 0) et   lim x f x ax b    Preuve :D’après la propriété précédente :

Propriété 5

Montrer que (∀x ∈ Df) (f (2 − x) = f(x)) Propriété :

Notations et formules

sin 2 2cos 2 f x x f x x       

Page 2

  0 cos 2 0 2 2 4 2

Page 2

par : (∀x ∈ R+)   f x x 

Page 2

m =1 x

Page 2

   lim

Page 2

lim lim lim 0 1 1 1 1 1 x x x

Page 2

lim lim 3 6 x x

Page 4

lim 2 1 3

Page 4

Exercices du document

Contenu à traiter

14 exercice(s) repérés sur 16 page(s), avec correction dans le document.

Mots-clés

Vocabulaire du document

courbe · fonction · droite · déterminer · définie · voisinage · asymptote · symétrie · étudier · point

Fiche de révision

Objectif de la leçon

Maîtriser "Exercices 1 - Étude des fonctions" dans Étude des fonctions (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.

Méthode rapide

Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.

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Étude des fonctions

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La courbe représentative de g est représentée

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Que peut-on conclure ?

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Définition et propriétés.

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Définition : Soit f une fonction dont la courbe

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On dit que la courbe est convexe si elle se

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On dit que la courbe est concave si elle se

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Un point d'inflexion est un point où s'opère un

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Remarque :Si f est dérivable en a et Cf traverse

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Théorème : Soit f une fonction deux fois

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Si f′′ est positive sur I alors Cf est convexe

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Définitions relevées

Définition 1

On dit que la courbe est convexe si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes 2) On dit que la courbe est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes.

Définition 2

Déterminer   lim (2 1) x g x x    On dit que la droite (Δ):

Théorèmes et propriétés

Propriété 1

Si f′′ s’annule en a en changeant de signe alors Cf admet un point d’inflexion en A(a, f(a)) Remarque :Les conditions du théorème précèdent sont suffisantes ; on peut avoir une courbe convexe, concave ou un point D’inflexion sans l’existence même de la dérivée seconde.

Propriété 2

Propriété :Soit f une fonction définie au voisinage de +∞.

Propriété 3

y = ax + b (a ≠ 0 ) est une asymptote oblique au voisinage de +∞ si et seulement si :

Propriété 4

 lim x f x a x   (a ≠ 0) et   lim x f x ax b    Preuve :D’après la propriété précédente :

Propriété 5

Montrer que (∀x ∈ Df) (f (2 − x) = f(x)) Propriété :

Notations et formules

sin 2 2cos 2 f x x f x x       

Page 2

  0 cos 2 0 2 2 4 2

Page 2

par : (∀x ∈ R+)   f x x 

Page 2

m =1 x

Page 2

   lim

Page 2

lim lim lim 0 1 1 1 1 1 x x x

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lim lim 3 6 x x

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lim 2 1 3

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Méthode rapide

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