I) RAPPELLES ET COMPLEMENTS.
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Vue de la leçon
Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Limites d’une fonction sans perdre le fil.
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I) RAPPELLES ET COMPLEMENTS.
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Définition :
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Remarque :
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2- Rappeler f(A) ⊂ B
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3- Traduire en utilisant les valeurs absolues : f(]x0 − r, x0 + r[∗) ⊂ ]l − β, l + β[
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II) LIMITE NULLE EN 0.
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1- Déterminer l’ensemble de définition de f.
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2- Ecrire des expressions de f sur des intervalles sans valeur absolue.
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3- La courbe de f est ci-contre :
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Remarques :
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III) LIMITE FINIE l EN a.
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Exercice : Montrer en utilisant la définition que :
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Application :
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III) LIMITE A DROITE, LIMITE A GAUCHE.
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Définition 1
Déterminer les bornes d’un intervalle ouvert de centre x0 et de rayon r (deux réels données) Définition :
Définition 2
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 < |x| < α ⇒ |f(x)| < ε On dit que la fonction f admet 0 comme limite en 0.
Définition 3
On dit que f admet la limite 0 en 0 si elle vérifie la propriété suivante :
Définition 4
On dit que la fonction f tend vers l quand x tend vers a si :
Définition 5
(∀A > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 < x < α ⇒ f(x) > A) La propriété (P) veut dire qu’on peut rendre f(x) aussi grand qu’on veut ; on dit que la limite de f est +∞ quand x tend vers 0 à droite et on écrit :
Propriété 1
On dit que f admet la limite 0 en 0 si elle vérifie la propriété suivante :
Propriété 2
lim x→0 f1(x) = 0 et lim x→0 f2(x) = 0 Propriété :
Propriété 3
Si f et g sont confondues sur un intervalle pointé de centre 0 et si lim x→0 f(x) = 0 alors lim x→0 g(x) = 0 Propriété :
Propriété 4
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si lim x→a g(x) = lim x→a h(x) = l alors lim x→a f(x) = l Propriété :
Propriété 5
lim x→a| f(x)| = l ⟺ ou | lim x→a f(x) = l lim x→a f(x) = −l Propriété :
]a, b[= {x ∈ R/a < x < b}
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Montrer que x ∈]x0 − r, x0 + r[/{x0} ⟺ 0 < |x − x0| < r
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2- Rappeler f(A) ⊂ B
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3- Traduire en utilisant les valeurs absolues : f(]x0 − r, x0 + r[∗) ⊂ ]l − β, l + β[
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a)- Déterminer un réel α tel que : f(] − α, α[∗) ⊂] − 2,2[
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b)- Déterminer un réel α tel que : f(] − α, α[∗) ⊂] − 10−2 , 102[
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c)- Déterminer un réel α tel que : f(] − α, α[∗) ⊂] − ε, ε[
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(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 < |x| < α ⇒ |f(x)| < ε
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Contenu à traiter
2 exercice(s) repérés sur 13 page(s), sans correction dans le document.
Vocabulaire du document
fonction · limite · intervalle · propriété · déterminer · centre · limites · définition · définie · droite
Objectif de la leçon
Maîtriser "Cours 1 - Limites d’une fonction" dans Limites d’une fonction (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.