I) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT
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Vue de la leçon
Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Limites et continuité sans perdre le fil.
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I) CONTINUITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE EN UN POINT
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1- Déterminer Df
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2- Déterminer : lim
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Définition :
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3- Interprétations graphiques
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1- Déterminer f(1) et étudier la continuité de la fonction f en x0 = 1
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2- Représenter graphiquement la fonction f.
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2- Représenter graphiquement la fonction h.
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Exercice :
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1- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h.
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2- Déterminer la limite lim
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3- Soit la fonction h̅ définie par : {h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1
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Définition 1
b) Comparer lim x→1 f(x) et f(1) On dit que f est continue en x0 = 1 Activité 3 :
Définition 2
On dit que la fonction f tend vers le réel l quand x tend vers a si :
Définition 3
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 < |x − a| < α ⇒ |f(x) − l| < ε 2 Définition et exemples Définition :
Définition 4
On dit que la fonction f est continue en a si :
Définition 5
{h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1 h̅ (−1) = 3 a) Déterminer Dh̅ b) Etudier la continuité de la fonction h̅ en x0=-1 La fonction h̅ s’appelle un prolongement par continuité de la fonction h en -1 4- Peut-on prolonger h par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Propriété 1
{h̅ (x) = h(x) si x ≠ −1 h̅ (−1) = 3 a) Déterminer Dh̅ b) Etudier la continuité de la fonction h̅ en x0=-1 La fonction h̅ s’appelle un prolongement par continuité de la fonction h en -1 4- Peut-on prolonger h par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Propriété 2
(∀ε > 0)(∃α > 0)(∀x ∈ Df)(0 ≤ a − x < α ⇒ |f(x) − f(a)| < ε Théorème Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a Preuve :
Propriété 3
f peut-être continue sur [a, b[ et sur [b, c] sans qu’elle soit continue sur [a, c] Dans le graphique ci-dessous f estcontinue sur [−3,0[ et continue sur [0,2] mais pas continue sur [−3,0] car elle n’est pas continue en 0 {f(x) = 1 x si x < 0 f(x) = x2 si x ≥ 0 2) Opérations sur les fontions…
Propriété 4
lim x→a(f + g)(x) = l + l′ lim x→a(f × g)(x) = l × l′ lim x→a(|f|)(x) = |l| lim x→a (1 g) (x) = 1 l′ l′ ≠ 0 lim x→a (f g) (x) = l l′ l′ ≠ 0 lim x→a(√f)(x) = √l l > 0 Ces propriétés sont vraies à droite et à gauche d’un réel a.
Propriété 5
2.2 Opérations sur les fonctions continues Grace à la propriété précédente et à la définition de la continuité on peut en déduire :
2x3+2x−4 lim
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√4x+1−3
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x2−3x+2 lim
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{f(x) = 3x2 + x − 4
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√x2 + 3 − 2 ; si x ≠ 1
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f(1) = 14
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{g(x) = xE (1
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x) ; si x ≠ 0
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Contenu à traiter
5 exercice(s) repérés sur 17 page(s), avec correction dans le document.
Vocabulaire du document
fonction · continue · continuité · définie · intervalle · limite · déterminer · strictement · définition · admet
Objectif de la leçon
Maîtriser "Cours 1 - Limites et continuité" dans Limites et continuité (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.