I)LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT
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Vue de la leçon
Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Limites et continuité sans perdre le fil.
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I)LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT
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Solution : Montrons que :
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Solution :
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Solution : 1;1 x
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Solutions :1)1
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II) CONTINUITE D’UNE FONCTION
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Solution :1) 1 f D
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Solution : 2 2
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Solution :x
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Solution : on a :
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Définition :1) Soit f une fonction définie sur un
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Définition 1
On dit que la fonction f est continue ena si elle admet une limite finie en a et lim x a f x f a :C’est-à-dire :
Définition 2
0 f x x si x f x si x 0 0 lim lim 2 0 0 x x f x x f On dit que f est continue à gauche de 0 0 x 0 0 lim lim 2 2 0 x x f x x f On dit que f n’est pas continue à droite de0 Et on a :
Définition 3
Définition :1) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, a + r[ où r > 0 On dit que la fonction fest continue à droite dea si elle admet une limite finie à droite en a et lim x a f x f a :
Définition 4
Définition 5
2 lim x f x Donc on ne peut pas prolonger f par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Propriété 1
1 lim 6 x f x 2)unicité de la limite Propriété :si une fonction admet une limite en Un point alors cette limite est unique Preuve :
Propriété 2
0 0 2 3 lim lim 3 0 2 1 x x x f x f x donc f est continue à droite de 0 0 x 0 0 lim lim 3 2 3 0 x x f x x f donc f est continue à gauche de 0 0 x Théorème :
Propriété 3
Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a Donc :
Propriété 4
2 lim x f x Donc on ne peut pas prolonger f par continuité en a = −2 Théorème et définition :
Propriété 5
0 f x si x x f x x si x continue sur [0, 2] mais pas continue sur [−3,0] car elle n’est pas continue en 0 2) Opérations sur les fonctions continues Propriétés :1)Si f et g sont deux fonctions continues en a alors :
]a, b[= {x ∈ R/a < x < b}
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(∀ε > 0)(∃α >0)(∀x∈Df)(0<|x-1|<α⇒|f(x)-6 | < ε ?
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(∃α1 >0)(∀x∈Df)(0<|x-1|< α1⇒|f(x)- 1l | < ε
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Et (∃α2 >0)(∀x∈Df)(0<|x-1|< α2⇒|f(x)- 2l | < ε
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1 cos 1
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+∞ ou −∞
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lim 2 1 x
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lim 2 4
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Contenu à traiter
35 exercice(s) repérés sur 22 page(s), avec correction dans le document.
Vocabulaire du document
continue · fonction · arctan · intervalle · solution · définie · admet · déterminer · continuité · strictement
Objectif de la leçon
Maîtriser "Exercices 1 - Limites et continuité" dans Limites et continuité (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.