Partie 1
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Vue de la leçon
Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Nombres complexes (Partie 1) sans perdre le fil.
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Partie 1
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I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
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II) LES OPERATIONS DANS R.
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Définition :
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Exercice 1:
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1- Calculer i3 et i4 , en déduire in en fonction de n.
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2- Calculer la somme S = 1 + i + i2 + ⋯ + i2018 ; écrire S sous sa forme algébrique.
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Exercice 2 :
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1- Factorise 2x2 + 5
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2- Résoudre l’équation 2x2 + 5 = 0
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Définition 1
C'est Raphaël Bombelli qui met en place les règles de calcul sur ces quantités que l'on appelle alors impossibles avant de leur donner le nom d'imaginaires.
Définition 2
(∀z ∈ C)(0 + z = z + 0 = z) Chaque élément z dans C a un symétrique appelé l’opposé de z noté (−z) ; z + (−z) = (−z) + z = 0 On dit que C muni de l’addition est un groupe commutatif, on le note par :
Définition 3
(1 z) ou z−1; z × (1 z) = (1 z) × z = 1 On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :
Définition 4
(∀(z, z1, z2) ∈ C3)(z × (z1 + z2) = z × z1 + z × z2) Définition :
Définition 5
Puisque (C, +) est un groupe commutatif et (C∗,×) est un groupe commutatif et a multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C; on dit que (C, +,×) est un corps commutatif.
Propriété 1
{ Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :
Propriété 2
z × z′ = (a + ib) × (a′ + ib′) = aa′ + ab′i + iba′ + bb′i2 (i2 = −1) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés La multiplication dans l’ensemble C est :
Propriété 3
(C ∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :
Propriété 4
zA, zB et zC ; les points A, B et C sont alignés si et seulement si zC−zA zB−zA ∈ R Exercice :
Propriété 5
z1 = 3 − 2i son conjugué est z1 ̅ = 3 + 2i z2 = 3i + 1 son conjugué est z2 ̅ = −3i + 1 z3 = 3 − √2 son conjugué est z3 ̅ = 3 − √2 Nombres complexes A.KARMIM 5 Propriété :
R ⊂ C
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a + ib = a′ + ib′ ⟺ {a = a′
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b = b′
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a + ib = 0 ⟺ {a = 0
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z = z′ ⟺ { Re(z) = Re(z′)
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Im(z) = Im(z′)
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z ∈ R ⟺ Im(z) = 0
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z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0
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Contenu à traiter
5 exercice(s) repérés sur 10 page(s), sans correction dans le document.
Vocabulaire du document
complexe · nombre · complexes · nombres · points · appelle · ensemble · propriété · déterminer · forme
Objectif de la leçon
Maîtriser "Cours 1 - Nombres complexes (Partie 1)" dans Nombres complexes (Partie 1) (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.