I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
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Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Nombres complexes (Partie 1) sans perdre le fil.
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I) L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES
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THÉORÈME :Soientz x iy etz x iy
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Remarque :z x iy et
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Définition 1
1.1 Définition Définition :Soient z = a + ib et z′= a′ + ib′ deux nombres complexes.
Définition 2
(∀z ∈ C)(0 + z = z + 0 = z) 4) Chaque élément z dans C a un symétrique appelé l’opposé de z noté (−z) ; z + (−z) = (−z) + z = 0 On dit que C muni de l’addition est un groupe commutatif, on le note par :
Définition 3
(1 z ou1 z ) Et on a1 1 z z On dit que C∗ muni de la multiplication est un groupe commutatif, on le note par :
Définition 4
(∀( 1z , 2z , 3z ) ∈ C3) (1z × (2z + 3z ) = 1z ×2z + 1z × 3z ) Définition :Puisque (C, +) est un groupe commutatif et (C∗,×) est un groupe commutatif et la multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C; on dit que (C, +,×) est un corps commutatif.
Définition 5
Propriété 1
Propriété 2
1 i ; 2 2i THÉORÈME :Soientz x iy etz x iy 2 ;x y et 2 ; x y deux nombres complexes :
Propriété 3
Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et NOMBRES COMPLEXES Prof/ATMANI NAJIB 2 Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′) 1.2 Propriétés L’addition dans l’ensemble C est :
Propriété 4
z × z′= (a + ib) × (a′ + ib′)= aa′ + ab′i + iba′ + bb′i22 1 i z × z′ = (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) z × z′= (aa′− bb′) + i(ab′ + ba′) 2.2 Propriétés :
Propriété 5
(C∗,×) En plus des 8 propriétés que vérifient l’addition et la multiplication dans l’ensemble C il y a une propriété commune entre les deux opérations :
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dire : (∀(x, y) ∈ R2)(x ≤ y ou y ≤ x )
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une partie de C ; (∀x ∈ R)(x = x + 0i)
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z ∈ R ⟺ Im(z) = 0
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z ∈ iR ⟺ Re(z) = 0
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z + z′= (a + a′) + i(b + b′)
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On en déduit que : Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) et
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Contenu à traiter
21 exercice(s) repérés sur 20 page(s), avec correction dans le document.
Vocabulaire du document
complexe · nombre · points · ensemble · complexes · nombres · solution · déterminer · forme · affixe
Objectif de la leçon
Maîtriser "Exercices 1 - Nombres complexes (Partie 1)" dans Nombres complexes (Partie 1) (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.