Proposition 1 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre, alors ce neutre est unique. On
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Cette leçon rassemble le PDF, les notes d’étude et la progression du chapitre pour que tu puisses réviser Structures algébriques sans perdre le fil.
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Proposition 1 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre, alors ce neutre est unique. On
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Exercice 1 Montrer que les lois ⊕ et ⊕ sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre.
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Proposition 2 Dans la d ́efinition pr ́ec ́edente, si y existe, il est unique. On peut alors parler DU sym ́e-
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Remarques 1
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Exercice 2 Si x et y admettent un sym ́etrique pour une loi ∗, montrer que x ∗ y admet ́egalement un
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Exercice 3 Montrer que (R2, ⊕) et (R2 \ {(0, 0)}, ⊗) sont des groupes commutatifs.
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Remarques 2
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Exercice 4 Soient H1 et H2 deux sous-groupes de (G, .). Montrer que H1 ∩ H2 est ́egalement un sous-
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Exercice 5 On d ́efinit l’ensemble :
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Exercice 6 Si f est un morphisme de (G, ∗) dans (H, ◦) et g un morphisme de (H, ◦) dans (K, T ),
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Exercice 7 Montrer que si f est un isomorphisme de (G, ∗) sur (H, ◦), alors son application r ́eciproque
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Proposition 3 Quelques propri ́et ́es ́el ́ementaires des morphismes de groupes : f est ici un morphisme
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Exercice 8 Montrer que (U, .) est un groupe, en le voyant successivement comme image et noyau d’un
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Proposition 4 Soit f un morphisme de (G, ∗) dans (H, T ). Alors f est injectif si et seulement si son
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Définition 1
Dfinition 3 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre e et x ∈ E, on dit que x admet un sym ́etrique pour T s’il existe y ∈ E tel que x T y = y T x = e.
Définition 2
Si ∗ est commutative, on dit que (G, ∗) est commutatif, ou encore ab ́elien.
Définition 3
2.3 Morphismes d’anneaux Dfinition 10 Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux (on note de la mˆeme fa ̧con les lois de A et B.
Définition 4
• On dit que x ∈ A est inversible s’il admet un sym ́etrique pour la loi .
Définition 5
• On dit que a divise b s’il existe c ∈ A tel que b = ca.
Propriété 1
Proposition 1 Si T est une LCI associative sur E qui admet un neutre, alors ce neutre est unique.
Propriété 2
Proposition 2 Dans la d ́efinition pr ́ec ́edente, si y existe, il est unique.
Propriété 3
4 Proposition 3 Quelques propri ́et ́es ́el ́ementaires des morphismes de groupes :
Propriété 4
D’apr`es les deux derniers points de la proposition 3, le noyau et l’image de f sont des sous-groupes respectifs de G et H.
Propriété 5
Bien entendu, et c’est une trivialit ́e, un morphisme de G dans H est surjectif si et seulement si son image est ́egale `a H.
• La loi ⊕ d ́efinie sur R2 par (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
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∀x, y, z ∈ E3, (x T y) T z = x T (y T z).
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∀x, y ∈ E2, x T y = y T x.
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∀x ∈ E, x T e = e T x = x.
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T s’il existe y ∈ E tel que x T y = y T x = e.
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Preuve : Partir de y1 T (x T y2) = (y1 T x)T y2. . .
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• (P(E), ∪), (P(E), ∩).
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– eG ∈ H ;
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Contenu à traiter
16 exercice(s) repérés sur 9 page(s), sans correction dans le document.
Vocabulaire du document
anneau · groupes · anneaux · montrer · groupe · morphisme · corps · exemples · ensemble · dfinition
Objectif de la leçon
Maîtriser "Cours 1 - Structures algébriques" dans Structures algébriques (Mathématiques) et savoir l'utiliser dans les exercices.
Méthode rapide
Commencer par les définitions, retenir les formules/procédés, refaire un exemple, puis résoudre un exercice sans regarder la correction.