Remarque : Si r est le reste de la division euclidienne par
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Remarque : Si r est le reste de la division euclidienne par
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Remarque : Cette propriété nous permet de déterminer si
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Théorème : L’ensemble des nombres premiers est infini.
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Propriétés :1) a ∧ a = |a| 2) 1 ∧ a = 1
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Définition : On dit que deux entier relatifs a et b sont
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Propriétés :1) a ∨ a = |a| 2) a ∨ b = b ∨ a
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Definition 1
1)a) a et b deux entiers relatifs tels que b ≠ 0 On dit que l’entier relatif b divise a s’il existe un entier relatif k tel que a = kb On écrit :
Definition 2
et on dit que a est divisible par b ou a est un multiple de b b) Si b|m et b|n on dit que b est un diviseur commun de m et n c) Si b|m et b′|m , on dit que m est un multiple commun de b et b′ B) Propriétés de Divisibilité dans Z.
Definition 3
D) Les nombres premiers a) On dit que l’entier d est un diviseur effectif de l’entier relatif a Si d|a et |d| ≠ 1 et |d| ≠ |a| b) On dit qu’un entier relatif non nul p est premier s’il est différent de 1 et s’il n’admet pas de diviseurs effectifs.
Definition 4
E) Plus grand diviseurs commun 1)On dit que le nombre d est le plus grand diviseur commun de deux entiers relatifs a et b lorsque d divise a et d divise b et qu’il n’y a pas d’autre plus grands diviseurs de ces deux nombres.
Definition 5
on note d = PGDC (a, b) = a ∧ b Propriétés :1) a ∧ a = |a| 2) 1 ∧ a = 1 3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) 4) Si b|a alors a ∧ b = |b| 5)si d|a et d|b alors d| (a ∧ b) 6) a ∧ b = a ∧ (a − b) 7)a b a b Définition :
Property 1
et on dit que a est divisible par b ou a est un multiple de b b) Si b|m et b|n on dit que b est un diviseur commun de m et n c) Si b|m et b′|m , on dit que m est un multiple commun de b et b′ B) Propriétés de Divisibilité dans Z.
Property 2
Cette propriété nous permet de déterminer si un nombre est premier ou non Théorème :
Property 3
on note d = PGDC (a, b) = a ∧ b Propriétés :1) a ∧ a = |a| 2) 1 ∧ a = 1 3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) 4) Si b|a alors a ∧ b = |b| 5)si d|a et d|b alors d| (a ∧ b) 6) a ∧ b = a ∧ (a − b) 7)a b a b Définition :
Property 4
m = PPCM (a, b) = a ∨ b Propriétés :1) a ∨ a = |a| 2) a ∨ b = b ∨ a 3) a ∨ 1 = |a| 4) Si b|a alors a ∨ b = |a| 5) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c 6)a b a b 7) a|(a ∨ b) ; b|(a ∨ b) et (a ∨ b)|ab 8)Si a ∨ b = m et M un multiple commun de a et b alors m|M.
Property 5
a ∧ b = d ⇒ ∃ (u, v) ∈ Z2 ; d = au + b 14)Théorème (Théorème de Bézout) :
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où 0 ≤ r < |b|
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b alors : r ∈ {0,1, ... , b − 1}.
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relatif a Si d|a et |d| ≠ 1 et |d| ≠ |a|
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Propriétés :1) a ∧ a = |a| 2) 1 ∧ a = 1
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5)si d|a et d|b alors d| (a ∧ b) 6) a ∧ b = a ∧ (a − b)
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What to work through
1 exercise(s) found across 3 page(s), with solutions included.
Document vocabulary
entier · entiers · relatifs · premier · nombres · naturel · soient · premiers · nombre · multiple
Lesson objective
Master "Summary 1 - Arithmétique" in Arithmétique (Mathematics) and use it in exercises.
Quick method
Start with definitions, learn formulas/processes, redo one example, then solve one exercise without the correction.